当数学教师在黑板上写下“ε-δ语言”的定义时，学生的眼神往往在困惑与敬畏间摇摆。高等数学作为现代科学的基础语言，其严谨性如同精密仪器的齿轮，确保每一个结论都经得起逻辑的推敲；而学生的接受度则像土壤的肥力，决定着知识之树能否真正扎根生长。平衡二者，既是教学的艺术，更是数学教育的核心命题。
严谨性是高等数学的生命线。从极限的定义开始，微积分的每一个概念都建立在严格的公理体系之上。这种严谨性并非学者的自矜，而是避免谬误的屏障。17世纪的数学家曾因缺乏对无穷小量的严格定义，让微积分陷入“第二次数学危机”。如今，“ε-δ语言”用量化的方式描述极限，看似抽象的符号背后，是将模糊直觉转化为精确逻辑的智慧。这种确定性的追求，正是高等数学区别于经验科学的本质特征。
然而，过度强调严谨性可能筑起知识的高墙。当教师在第一堂课就抛出实变函数的测度理论，或用拓扑学的公理定义连续性时，初学者往往会因符号的洪流望而却步。法国数学家拉格朗日曾试图用幂级数定义导数以规避无穷小量，岂知却让微积分变得更加晦涩。这提醒我们：严谨性的呈现需要阶梯，正如登山者不会一开始就直面悬崖，而是沿着蜿蜒的山路逐步接近峰顶。对于刚接触微积分的学生，用“无限逼近”的直观描述作为跳板，再过渡到严格定义，远比直接灌输符号体系更有效。
寻找平衡点需要教学智慧的创造性转化。古代数学家刘徽用割圆术推导圆周率，既体现了极限思想的严谨内核，又以“割之弥细，所失弥少”的形象语言让人易于理解。这种传统在现代教学中依然光芒四射：用弹簧振子的运动解释正弦函数的导数，用人口增长模型理解微分方程，将抽象概念锚定在具体情境中。更重要的是，要让学生看到严谨性的价值——当他们发现用洛必达法则能轻松解决之前束手无策的极限问题，严谨性便不再是枯燥的教条，而是解决问题的利器。
高等数学的教学，应当像搭建桥梁：一端连着逻辑的彼岸，另一端系着认知的此岸。严谨性确保桥梁的坚固，接受度则决定桥梁的可达。那些伟大的数学教育家，从来都是两种智慧的平衡者。他们既能用ε和δ编织逻辑的网，也能用比喻和实例点亮理解的灯。当学生最终能在严格定义与直观感受之间自由穿梭时，高等数学的理性之树，才算真正在他们心中扎下了根。
举个例子。曲线的凹凸性是高等数学中刻画函数图像形态的重要概念，其定义涉及二阶导数与割线性质，严谨性极强，但抽象表述易让学生望而生畏。教学中需以直观感知为阶梯，逐步过渡到严谨定义，实现学科规范与学生接受度的平衡。教学之初，可先以学生熟悉的具体函数建立直观认知，再将模糊感受转化为可量化的数学语言，再进一步简化判断，引入与导数的关联。最后通过实例验证。这种“直观感知—量化定义—简化判定—实例验证”的路径，既保留了凹凸性定义的严谨逻辑，又通过层层递进的引导降低了理解门槛，让学生在“看得懂”的基础上“说得清、用得对”。
作为一名数学教师，在探寻严谨性与接受度平衡点的路上，我一直在前行。
（刘德斌，理学院副教授，曾获中国石油教育学会课程思政教学大赛二等奖，西南石油大学教学竞赛一等奖，躬耕奖三等奖等）